Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\sqrt {2x - 1} }}{x} + 6{y^2} + 8 = 3x + \frac{3}{x} + {y^4} + 8y}&{\left( 1 \right)} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {2{x^3} + 3y + 4 = 3{x^2} + 6\sqrt y }&{\left( 2 \right)} \end{array} \end{array} \right.$

Lời giải

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
x \ge \frac{1}{2}\\
y \ge 0
\end{array} \right.$
Ta có: $\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2{x^3} - 3{x^2} + 1 =  - 3{\left( {\sqrt y  - 1} \right)^2} \le 0$ với $x \ge \frac{1}{2}$.
Do đó: $2{x^3} - 3{x^2} + 1 \ge  - 3{\left( {\sqrt y  - 1} \right)^2}$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=1$.
Thay lại phương trình $(1)$ ta thấy thỏa mãn.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: $x=y=1$.