Đề bài: Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{matrix} {{e}^{{{y}^{2}}-{{x}^{2}}}}=\frac{{{x}^{2}}+1}{{{y}^{2}}+1} \\ 3{{\log }_{3}}\left( x+2y+6 \right)=2{{\log }_{2}}\left( x+y+2 \right)+1 \\ \end{matrix} \right.\] \[\begin{matrix} \left( 1 \right) \\ \left( 2 \right) \\ \end{matrix}\]

Lời giải

Điều kiện: \[x+2y+6>0\] và \[x+y+2>0\]

Xét phương trình \[\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{y}^{2}}-{{x}^{2}}=\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)-\ln \left( {{y}^{2}}+1 \right)\Leftrightarrow \ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)+{{x}^{2}}+1=\ln \left( {{y}^{2}}+1 \right)+{{y}^{2}}+1\]  \[\left( 3 \right)\]

Xét hàm số \[f\left( t \right)=\ln t+t\] với $t\ge 1$

Ta có $f\left( t \right)$  đồng biến trên $\left[ 1;+\infty  \right)$ 

Phương trình $\left( 3 \right)$  có dạng $f\left( {{x}^{2}}+1 \right)=f\left( {{y}^{2}}+1 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}={{y}^{2}}\Leftrightarrow x=\pm y$

·         Với $x=-y$  từ \[\left( 2 \right)\] ta được ${{\log }_{3}}\left( 6-x \right)=1$  với $x<6$ $\Rightarrow x=3\Rightarrow y=-3$ ( thỏa mãn hệ)

·         Với $x=y$  từ \[\left( 2 \right)\] ta được

$3{{\log }_{3}}\left( x+2 \right)=2{{\log }_{2}}\left( x+1 \right)$  với $x>-1$

Đặt \[3{\log _3}\left( {x + 2} \right) = 2{\log _2}\left( {x + 1} \right) = 6u \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + 2 = {3^{2u}}}\\
{x + 1 = {2^{3u}}}
\end{array}} \right.\]

$\Rightarrow 1+{{2}^{3u}}={{3}^{2u}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{1}{9} \right)}^{u}}+{{\left( \frac{8}{9} \right)}^{u}}=1$       $\left( 5 \right)$

Xét $g\left( u \right)={{\left( \frac{1}{9} \right)}^{u}}+{{\left( \frac{8}{9} \right)}^{u}}$ , $g\left( u \right)$  là hàm nghịch biến trên R và có $g\left( 1 \right)=1$  nên u=1 là nghiệm duy nhất của (5)

Với $u=1\Rightarrow x=y=7$  ( thỏa mãn hệ)

Vậy hệ có 2 nghiệm là $\left( x;y \right)=\left( 3;-3 \right),\left( 7;7 \right)$