Đề bài: Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác và thõa mãn ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+ab-2bc\text{ +}2ca=0$ Tìm giá trị nhỏ nhất của: $P=\frac{{{c}^{2}}}{{{(a+b-c)}^{2}}}+\frac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}$

Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác và thõa mãn ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+ab-2bc\text{ +}2ca=0$Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=\dfrac{{{c}^{2}}}{{{(a+b-c)}^{2}}}+\dfrac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\dfrac{\sqrt{ab}}{a+b}$:

Lời giải

Bất đẳng thức được viết lại dưới dạng:

$P=\dfrac{{{c}^{2}}}{ab}+\dfrac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\dfrac{\sqrt{ab}}{a+b}$

Bây giờ ta sẽ dùng CAUCHY-SWARCH  để đánh giá và chú ý $ab\le \dfrac{{{(a+b)}^{2}}}{4}$

\[\begin{array}{l}
P{\rm{ }} = \frac{{{c^2}}}{{2ab}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{2ab}} + \frac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}}\\
 \ge \frac{{9{c^2}}}{{{{(a + b)}^2} + ab}} + \frac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}} \ge \frac{{36{c^2}}}{{5{{(a + b)}^2}}} + \frac{{\sqrt {ab} }}{{a + b}}{\rm{  }}
\end{array}\]

Từ giả thiết:${{(a+b-c)}^{2}}=ab\Rightarrow \sqrt{ab}=a+b-c$

Từ đó suy ra $$P\ge \dfrac{36{{c}^{2}}}{5{{(a+b)}^{2}}}+\dfrac{a+b-c}{a+b}=\dfrac{36}{5}{{\left( \dfrac{c}{a+b} \right)}^{2}}+1-\dfrac{c}{a+b}$$

Chúng ta củng sẽ có:${{(a+b-c)}^{2}}=ab\le {{\left( \dfrac{a+b}{2} \right)}^{2}}\Rightarrow \dfrac{1}{2}\le \dfrac{c}{a+b}\le \dfrac{3}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta sẽ có:

$\dfrac{36}{5}{{\left( \dfrac{c}{a+b} \right)}^{2}}+1-\dfrac{c}{a+b}\ge \dfrac{36}{5}\dfrac{c}{a+b}-\dfrac{4}{5}-\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{31}{5}\dfrac{c}{a+b}-\dfrac{4}{5}\ge \dfrac{23}{10}$

Nguồn: Nguyễn Đình Thành Công - Nghiên cứu sinh tại viện Toán cao cấp Việt Nam