Đề bài: Cho $a,b,c$ là các số thực dương lớn hơn $1$. Chứng minh rằng. \[\frac{{{{\log }_b}a}}{{a + b}} + \frac{{{{\log }_c}b}}{{b + c}} + \frac{{{{\log }_a}c}}{{c + a}} \ge \frac{9}{{2\left( {a + b + c} \right)}}\]

Lời giải

Chú ý rằng: ${\log _b}a.{\log _c}b.{\log _a}c = 1$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: \[\frac{{{{\log }_b}a}}{{a + b}} + \frac{{{{\log }_c}b}}{{b + c}} + \frac{{{{\log }_a}c}}{{c + a}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{{{\log }_b}a}}{{a + b}}.\frac{{{{\log }_c}b}}{{b + c}}.\frac{{{{\log }_a}c}}{{c + a}}}} = \frac{3}{{\sqrt[3]{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}}}\]

Mặt khác theo AM-GM ta cũng có: \[\left( {a + b} \right) + \left( {b + c} \right) + \left( {c + a} \right) = 2\left( {a + b + c} \right) \ge 3\sqrt[3]{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}\]

Hay: \[\frac{1}{{\sqrt[3]{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}}} \ge \frac{3}{{2\left( {a + b + c} \right)}}\]

Do đó:

\[\frac{{{{\log }_b}a}}{{a + b}} + \frac{{{{\log }_c}b}}{{b + c}} + \frac{{{{\log }_a}c}}{{c + a}} \ge \frac{9}{{2\left( {a + b + c} \right)}}\]

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c>1$