Đề bài: Giải phương trình \[{{x}^{3}}-3x+1=\sqrt{8-3{{x}^{2}}}\].

Lời giải

Nhận xét: Dùng máy tính sẽ tìm được giá trị gần bằng của 2 nghiệm phương trình là: \[{{x}_{1}}\approx -\text{0,6180339887}...\] và \[{{x}_{2}}\approx \text{1, 618033989}...\].Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 1\\
{x_1}.{x_2} =  - 1
\end{array} \right.$ hay $x1$ và $x2$ là hai nghiệm của phương trình : ${{x}^{2}}-x-1=0$. Từ đây ta sẽ nghĩ tới việc đưa phương trình về dạng: $\left( {{x}^{2}}-x-1 \right)P\left( x \right)=0$. Ta sẽ có phương pháp như sau:

Viết lại phương trình đã cho:
\[\begin{array}{l}
{x^3} - 3x + 1 - \left( {ax + b} \right) = \sqrt {8 - 3{x^2}}  - \left( {ax + b} \right)\\
 \Leftrightarrow {x^3} - 3x + 1 - \left( {ax + b} \right) + \frac{{{{\left( {ax + b} \right)}^2} + 3{x^2} - 8}}{{\sqrt {8 - 3{x^2}}  + \left( {ax + b} \right)}} = 0\\
 \Leftrightarrow {x^3} - \left( {a + 3} \right)x + 1 - b + \frac{{\left( {{a^2} + 3} \right){x^2} + 2abx + {b^2} - 8}}{{\sqrt {8 - 3{x^2}}  + \left( {ax + b} \right)}} = 0
\end{array}\]

Để xuất hiện nhân tử ${{x}^{2}}-x-1$ thì $\left( {{a}^{2}}+3 \right){{x}^{2}}+2abx+{{b}^{2}}-8=\alpha \left( {{x}^{2}}-x-1 \right)$. Ta sẽ thử chọn số $\alpha $ sao cho  $\alpha -3$ chính phương. Rất may mắn là với $\alpha =4$ thõa mãn. Hay khi

đó $\left\{ \begin{array}{l}
a =  - 1\\
b = 2
\end{array} \right.$ là cặp số cần tìm:

Ta có lời giải hoàn chỉnh sau đây:

Điều kiện: $-\frac{2\sqrt{6}}{3}\le x\le \frac{2\sqrt{6}}{3}$.

Biến đổi phương trình đã cho trở thành:
\[\begin{array}{l}
{x^3} - 2x - 1 = \sqrt {8 - 3{x^2}}  - \left( { - x + 2} \right)\\
 \Leftrightarrow {x^3} - 2x - 1 + 4.\frac{{{x^2} - x - 1}}{{\sqrt {8 - 3{x^2}}  + \left( { - x + 2} \right)}} = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - x - 1} \right)\left( {x + 1 + \frac{4}{{\sqrt {8 - 3{x^2}}  + \left( { - x + 2} \right)}}} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} - x - 1 = 0\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{x + 1 + \frac{4}{{\sqrt {8 - 3{x^2}}  + \left( { - x + 2} \right)}} = 0}&{\left( * \right)}
\end{array}
\end{array} \right.
\end{array}\]

Xét hàm số:  $f\left( x \right)=\sqrt{8-3{{x}^{2}}}+\left( -x+2 \right)$ ta có:  $f'\left( x \right)=\frac{-3x}{\sqrt{8-3{{x}^{2}}}}-1$

\[f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=-\sqrt{\frac{2}{3}}\]

Ta sẽ tìm được $0<f'\left( x \right)\le \frac{6+4\sqrt{6}}{3}$.

Do đó: \[\Rightarrow x+1+\frac{4}{\sqrt{8-3{{x}^{2}}}+\left( -x+2 \right)}=x+1+\frac{4}{f\left( x \right)}\ge -\frac{2\sqrt{6}}{3}+1+\frac{12}{6+4\sqrt{6}}>0\]

Vậy nên (*) vô nghiệm.

Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là: \[{{x}^{2}}-x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\].

Lưu ý: Khi giải các bài toán sử dụng liên hợp mà có nghiệm duy nhất thì thường phải chứng minh một phương trình nào đấy vô nghiệm, công việc này khá khó khăn, vì vậy chúng ta nên làm thuần thục các bài toán cơ bản vì đôi lúc là các kiến thức rất dễ nhưng do chúng ta chủ quan làm cho việc giải bài đó khó khăn hơn.