Ép biến với bất đẳng thức đối xứng

Bài toán : Cho $a,b,c$ là 3 số thực không âm sao cho không có hai số nào cùng bằng 0 đồng thời . Chứng minh rằng :

$\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}+3\sqrt{3}\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}\ge \dfrac{7\sqrt{2}}{2}$

Lời giải : Đôi lúc một bài toán được lắp ghép từ các bài toán nhỏ, vấn đề là chúng ta phải tìm được các ý nhỏ được che dấu đi và lắp ghép lại thành bài toán mới . 

Bổ đề 1 : Cho $a,b,c\ge 0$ Khi đó ta có :

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge \dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{ab+bc+ca}$

Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với :

$(ab+bc+ca)\left( \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b} \right)\ge {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$

Khai triển ra ta thấy ngay đây là bất đẳng thức đúng .

Bổ đề 2 : Với các số thực dương $a,b,c$ thì :

$\sqrt{\dfrac{ab}{(a+c)(b+c)}}+\sqrt{\dfrac{bc}{(b+a)(c+a)}}+\sqrt{\dfrac{ca}{(c+b)(a+b)}}\ge 1$

Gợi ý giải : Áp dụng AM-GM :

\[\sqrt {\frac{{ab}}{{(a + c)(b + c)}}}  = \sqrt {\frac{{ab{{(2ab + 2bc + 2ca)}^2}}}{{4(a + c)(b + c){{(ab + bc + ca)}^2}}}} \]
\[ = \sqrt {\frac{{ab{{(a(b + c) + b(a + c))}^2}}}{{4(a + c)(b + c){{(ab + bc + ca)}^2}}}} \]
\[ \ge \sqrt {\frac{{ab4a(b + c)b(a + c)}}{{4(a + c)(b + c){{(ab + bc + ca)}^2}}}}  = \frac{{ab}}{{ab + bc + ca}}\]

Tương tự thêm 2 bất đẳng thức nữa rồi cộng lại ta có điều phải chứng minh .

Quay lại bài toán :

Đặt $\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{ab+bc+ca}}=t\ge 1$ và sử dụng các đánh giá trên ta được :

\[{\left( {\sum {\sqrt {\frac{a}{{b + c}}} } } \right)^2} = \sum {\frac{a}{{b + c}}}  + 2\sum {\sqrt {\frac{{ab}}{{(a + c)(b + c)}}} } \]
\[ \ge \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{ab + bc + ca}} + 2 = {t^2} + 2\]

Vậy ta cần chứng minh được :

$\sqrt{{{t}^{2}}+2}+\dfrac{3\sqrt{3}}{t}\ge \dfrac{7\sqrt{2}}{2}$

Đây là hàm một biến , việc hoan tất lời giải xin danh cho bạn đọc . 

Trích: Nguyễn Đình Thành Công- Nghiên cứu sinh viện VIASM