Đề bài: Giải hệ phương trình sau: \[\begin{matrix} \left\{ \begin{align} & \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{1+2{{x}^{2}}}}+\frac{1}{\sqrt{1+2{{y}^{2}}}}=\frac{2}{\sqrt{1+2xy}} & \left( 1 \right) \\ \end{matrix} \\ & \begin{matrix} \sqrt{x\left( 1-2x \right)}+\sqrt{y\left( 1-2y \right)}=\frac{2}{9} & \left( 2 \right) \\ \end{matrix} \\ \end{align} \right. & \left( x,y\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{matrix}\]

Lời giải

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
0 \le x \le \frac{1}{2}\\
0 \le y \le \frac{1}{2}
\end{array} \right.$

Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxky ta có: \[\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\left( {\frac{1}{{\sqrt {1 + 2{x^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + 2{y^2}} }}} \right)}^2} \le 2\left( {\frac{1}{{1 + 2{x^2}}} + \frac{1}{{1 + 2{y^2}}}} \right)}&{\left( * \right)}
\end{array}\]

Dấu bằng xảy ra \[\Leftrightarrow \sqrt{1+2{{x}^{2}}}=\sqrt{1+2{{y}^{2}}}\Leftrightarrow x=y\]

Ta lại có:

\[\begin{array}{l}
\frac{1}{{1 + 2{x^2}}} + \frac{1}{{1 + 2{y^2}}} - \frac{2}{{1 + 2xy}} = \frac{{2{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {2xy - 1} \right)}}{{\left( {1 + 2{x^2}} \right)\left( {1 + 2{y^2}} \right)\left( {1 + 2xy} \right)}} \le 0\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{ \Rightarrow \frac{1}{{1 + 2{x^2}}} + \frac{1}{{1 + 2{y^2}}} \le \frac{2}{{1 + 2xy}}}&{\left( {**} \right)}
\end{array}
\end{array}\]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y$.

Từ $\left( * \right)$ và $\left( ** \right)$ ta suy ra \[{{\left( \frac{1}{\sqrt{1+2{{x}^{2}}}}+\frac{1}{\sqrt{1+2{{y}^{2}}}} \right)}^{2}}\le \frac{4}{1+2xy}\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{1+2{{x}^{2}}}}+\frac{1}{\sqrt{1+2{{y}^{2}}}}\le \frac{2}{\sqrt{1+2xy}}\]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y$. Khi đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow x=y$ thế xuống phương trình $\left( 2 \right)$ ta được:

\[\sqrt{x\left( 1-2x \right)}+\sqrt{x\left( 1-2x \right)}=\frac{2}{9}\Leftrightarrow x=\frac{9\pm \sqrt{73}}{36}\Rightarrow y=\frac{9\pm \sqrt{73}}{36}\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: \[\left( x;y \right)=\left( \frac{9\pm \sqrt{73}}{36};\frac{9\pm \sqrt{73}}{36} \right)\]