Đề ra: Cho $a,b,c$ là các số thực dương có tổng bằng $3$. Chứng minh rằng \[S = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a}} - \left( {ab + bc + ca} \right) \ge 1\]

Lời giải

Bài giải: Rõ ràng ta sẽ hướng đến đặt ẩn phụ ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=t$ hoặc $ab+bc+ca=t$ vì chúng có thể đánh  giá được và quan trọng hơn chúng có mối quan hệ với đại lượng còn lại qua hằng đẳng thức:

\[{{\left( a+b+c \right)}^{2}}=\sum{{{a}^{2}}}+2\sum{ab}\]

Vậy vấn đề bây giờ là tìm mối qua hệ đẳng thức hoặc bất đẳng thức giữa ${{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a$ với $ab+bc+ca$ hoặc ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$. Ở đây, ta sẽ trình bày nó theo 3 cách. Không chỉ đơn giản là giải bài toán này, sau đây sẽ cung cấp cho các bạn những BĐT phụ liên quan qua đó thể hiện quan hệ của:

$ab+bc+ca$; ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$; ${{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a$; $a+b+c$

Cách 1: Sử dụng BĐT phụ: 

\[\left( a+b+c \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\ge 3\left( {{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a \right)\] với mọi a,b,c dương.

Chứng minh: BĐT này ta đã gặp một lần ở một bài toán thuộc phần kĩ thuật chuẩn hóa BĐT đối xứng thuần nhất, xin được nhắc lại:

BĐT trên \[\Leftrightarrow {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+a{{b}^{2}}+b{{c}^{2}}+{{a}^{2}}c\ge 2\left( {{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a \right)\]

Sử dụng BĐT Cauchy ta có:  \[{{a}^{3}}+a{{b}^{2}}\ge 2{{a}^{2}}b\]. Tương tự cho 2 biến còn lại. Cộng vế thoe vê scacs BĐT ta có đpcm. Đây là một BĐT quen thuộc và quan trọng. Trở lại với bài toán:

Khi đó, từ \[a+b+c=3\], ta có: \[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge {{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a\]

Suy ra: \[\]\[S\ge {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+\frac{ab+bc+ca}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}-\left( ab+bc+ca \right)\]

Đặt \[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=t\left( t\ge 0 \right)\Rightarrow ab+bc+ca=\frac{1}{2}\left( 9-t \right)\]

Từ \[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge \frac{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}{3}=3\Rightarrow t\ge 3\]

Khi đó: \[\begin{array}{l}
S \ge t + \frac{{9 - t}}{{2t}} - \frac{1}{2}\left( {9 - t} \right) = \frac{3}{2}t + \frac{9}{{2t}} - 5\\
 = \left( {\frac{t}{2} + \frac{9}{{2t}}} \right) + t - 5 \ge 2\sqrt {\frac{t}{2}.\frac{9}{{2t}}}  + t - 5 \ge 1
\end{array}\]

Dấu “=” có \[\Leftrightarrow a=b=c=1\]

Trích: Nguyễn Đình Thành Công