Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $2ab + 5bc + 6ca = 6abc$. Tìm giá trị nhỏ nhất của \[P = \frac{{ab}}{{b + 2a}} + \frac{{4bc}}{{4c + b}} + \frac{{9ca}}{{a + 4c}}\]

Đề bài: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $2ab + 5bc + 6ca = 6abc$. Tìm giá trị nhỏ nhất của \[P = \frac{{ab}}{{b + 2a}} + \frac{{4bc}}{{4c + b}} + \frac{{9ca}}{{a + 4c}}\]

Lời giải

Từ giả thiết ta có: $ \Rightarrow \frac{5}{a} + \frac{6}{b} + \frac{2}{c} = 6$

Đặt \[x = \dfrac{1}{a},y = \dfrac{1}{b},z = \dfrac{1}{c} \Rightarrow {\rm{ }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x,y,z > 0}\\
{5x + 6y + 2z = 6}
\end{array}} \right.\]

Khi đó: \[\begin{array}{l}
P = \frac{1}{{x + 2y}} + \frac{4}{{4y + z}} + \frac{9}{{z + 4x}}\\
 \Rightarrow P + 6 = \frac{1}{{x + 2y}} + \frac{4}{{4y + z}} + \frac{9}{{z + 4x}} + 6 = \frac{1}{{x + 2y}} + \frac{4}{{4y + z}} + \frac{9}{{z + 4x}} + x + 2y + 4y + z + z + 4x\\
\frac{1}{{x + 2y}} + x + 2y + \frac{4}{{4y + z}} + 4y + z + \frac{9}{{z + 4x}} + z + 4x \ge 2 + 4 + 6 = 12\\
 \Rightarrow P \ge 6
\end{array}\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $6$ khi $\left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b = 4\\
c = 1
\end{array} \right.$