Hệ phương trình sử dụng đánh giá.

Đề bài: Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 6(1 - \sqrt {xy} )\\
x + \dfrac{{6\sqrt {2({x^6} + {y^6})} }}{{{x^2} + xy + {y^2}}} = 3 + \sqrt {2({x^2} + {y^2})}
\end{array} \right.$

Lời giải

Điều kiện: $xy > 0$

Ta có:

$$\dfrac{{6\sqrt {2({x^6} + {y^6})} }}{{{x^2} + xy + {y^2}}} = \dfrac{{6\sqrt {2({x^2} + {y^2})({x^4} - {x^2}{y^2} + {y^4})} }}{{{x^2} + xy + {y^2}}} \ge 2\sqrt {2({x^2} + {y^2})} $$

Thật vậy, ta chứng minh:

$$\begin{array}{l}
3\sqrt {{x^4} - {x^2}{y^2} + {y^4}}  \ge {x^2} + xy + {y^2}\\
 \Leftrightarrow 9{x^4} - 9{x^2}{y^2} + 9{y^4} \ge {\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)^2}\\
 \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2}\left( {4{x^2} + 7xy + 4{y^2}} \right) \ge 0
\end{array}$$
Từ phương trình thứ 2 của hệ ta suy ra: $3 - x \ge \sqrt {2({x^2} + {y^2})} {\rm{ }}(1)$
Từ phương trình đầu của hệ sử dụng AM-GM ta có: $x - y = 6 - 6\sqrt {xy}  \ge 6 - 3(x + y) \Rightarrow 2x + y \ge 3{\rm{ }}(2)$
Cộng theo vế $(1)$ và $(2)$ ta được: $x + y \ge \sqrt {2({x^2} + {y^2})}  \Leftrightarrow x = y \Rightarrow x = y = 1$
Vậy nghiệm của hệ là: $x=y=1$