Cho $3$ số thực $a, b, c$ dương thỏa mãn $ a+ b+ c= 1$. Chứng minh rằng: $\dfrac{a}{{a + bc}} + \dfrac{b}{{b + ac}} + \dfrac{{\sqrt {abc} }}{{c + ab}} \le 1 + \dfrac{{3\sqrt 3 }}{4}$

Đề bài: Cho $3$ số thực $a, b, c$ dương thỏa mãn $ a+ b+ c= 1$. Chứng minh rằng:

$\dfrac{a}{{a + bc}} + \dfrac{b}{{b + ac}} + \dfrac{{\sqrt {abc} }}{{c + ab}} \le 1 + \dfrac{{3\sqrt 3 }}{4}$

Lời giải

Ta có: $A = \dfrac{1}{{1 + \dfrac{{bc}}{a}}} + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{{ca}}{b}}} + \dfrac{1}{{\sqrt {\dfrac{c}{{ab}}}  + \sqrt {\dfrac{{ab}}{c}} }}$

Đặt: $\sqrt {\dfrac{{ab}}{c}}  = x,\sqrt {\dfrac{{bc}}{a}}  = y,\sqrt {\dfrac{{ac}}{b}}  = z$  thì ta có: $xy + yz + zx = 1$

Khi đó: $P = \dfrac{1}{{1 + {z^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {y^2}}} + \dfrac{x}{{1 + {x^2}}}$

Đến đây dấu hiệu lượng giác khá rõ ràng.

Tồn tại tại tam giác $ABC$ sao cho $tan\dfrac{A}{2} = x,tan\dfrac{B}{2} = y,tan\dfrac{C}{2} = z$

Khi đó: $A = \dfrac{{sinA + cosB + cosC}}{2} + 1$

Ta có: $cosB + cosC = 2cos\dfrac{{B + C}}{2}.cos\dfrac{{B - C}}{2} \le 2cos\dfrac{{B + C}}{2} = 2sin\dfrac{A}{2}$

Ta sẽ chứng minh: 

$$sinA + 2sin\dfrac{A}{2} \le \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}$$

$$ \Leftrightarrow 2t\sqrt {1 - {t^2}}  + 2t \le \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow {\left( {t - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2}(16{t^2} + 16\sqrt 3 t + 36) \ge 0$$ ( đúng)

Vậy ta có: $A \le 1 + \dfrac{{3\sqrt 3 }}{4}$

Trích: Nguyễn Đình Thành Công ( Viện toán học cao cấp Viasm)