Đề bài: Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 3$. Tìm giá trị lớn nhất của $P = xy + yz + 2zx$

Đề bài: Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 3$. Tìm giá trị lớn nhất của $P = xy + yz + 2zx$

Lời giải

Trước tiên, ta sẽ đồng bậc hóa bất đẳng thức đã cho để đưa bài toán về đúng bản chất của nó.



Bất đẳng thức đồng bậc của ta có dạng: \[\begin{array}{*{20}{c}}
{xy + yz + 2zx \le k\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}&{\left( * \right)}
\end{array}\] với hằng số $k > 0$ .
Trở l ại bài toán cần xét, khi đọc tới giả thiết ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 3$  thì phải hiểu rằng $Max P=3k$ và công việc của ta là tìm  $k$ để $(*)$ luôn đúng với mọi $x,y,z$. Để  ý rằng, $(*)$ có thể viết lại thành:
\[k{y^2} - y\left( {x + z} \right) + k{x^2} + k{z^2} - 2xz \ge 0\]
Do hệ số $k >0$ nên coi đây là tam thức bậc hai ẩn $y$ thì dễ thấy nếu ta tìm được $k$ sao cho $\Delta  < 0\forall x,z$ bài toán sẽ được giải quyết.
Mặt khác ta có: \[\Delta  = \left( {1 - 4{k^2}} \right)\left( {{x^2} + {z^2}} \right) + 2\left( {1 + 4k} \right)xz\]
Mặt khác, bất đẳng thức trên đối xứng với $x$  và $z$  nên ta có thể dự đoán $P$ đạt $Max$ khi và chỉ  khi $x=z$.
Từ đó, dẫn tới ý tưởng thay $x=z=1$ vào $(1)$, ta thu được $2{k^2} - 2k - 1 = 0$. Do $k >0$ nên chọn $k = \dfrac{{1 + \sqrt 3 }}{2}$
Vậy ta đi tới kết luận:  $\max P = \dfrac{{3\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}}{2}$