Cho 3 số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng: \[1 + \sqrt[3]{{abc}} \le \sqrt[3]{{\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right)}}\]

Đề bài: Cho $3$ số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng: \[1 + \sqrt[3]{{abc}} \le \sqrt[3]{{\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right)}}\]

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: 

\[\begin{array}{c}
\dfrac{{1 + \sqrt[3]{{abc}}}}{{\sqrt[3]{{\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right)}}}} \le \sqrt[3]{{\dfrac{1}{{\left( {1 + a} \right)}}.\dfrac{1}{{\left( {1 + b} \right)}}.\dfrac{1}{{\left( {1 + c} \right)}}}} + \sqrt[3]{{\dfrac{a}{{\left( {1 + a} \right)}}.\dfrac{b}{{\left( {1 + b} \right)}}.\dfrac{c}{{\left( {1 + c} \right)}}}}\\
 \le \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{1}{{1 + a}} + \dfrac{1}{{1 + b}} + \dfrac{1}{{1 + c}}} \right) + \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{a}{{1 + a}} + \dfrac{b}{{1 + b}} + \dfrac{c}{{1 + c}}} \right)\\
 \le \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{{1 + a}}{{1 + a}} + \dfrac{{1 + b}}{{1 + b}} + \dfrac{{1 + c}}{{1 + c}}} \right) = 1
\end{array}\]
Từ đó $ \Rightarrow 1 + \sqrt[3]{{abc}} \le \sqrt[3]{{\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right)}}$ .
Vậy ta có điều phải chứng minh.