Giải bất phương trình:$\sqrt{x^{2}+1}\geq \frac{2x^{2}+2x+1}{4x-1}$

Đề bài: Giải bất phương trình:$\sqrt{x^{2}+1}\geq \frac{2x^{2}+2x+1}{4x-1}$

Lời giải

Điều kiện: $x \ne \frac{1}{4}$

Nhận xét: Ta có: $2{x^2} + 2x + 1 = 2\left( {{x^2} + x + \frac{1}{4}} \right) + \frac{1}{2} = 2{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2} > 0$



Xét $x < \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{{2{x^2} + 2x + 1}}{{4x - 1}} < 0$ Bất phương trình luôn đúng.

Xét $x > \frac{1}{4}$

Ta có: \[\begin{array}{l}
BPT \Leftrightarrow \left( {4x - 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1}  \ge 2{x^2} + 2x + 1\\
 \Leftrightarrow \left( {16{x^2} - 8x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) \ge 4{x^4} + 4{x^2} + 1 + 8{x^3} + 4{x^2} + 4x\\
 \Leftrightarrow 16{x^4} - 8{x^3} + 17{x^2} - 8x + 1 \ge 4{x^4} + 8{x^3} + 8{x^2} + 4x + 1\\
 \Leftrightarrow 12{x^4} - 16{x^3} + 9{x^2} - 12x \ge 0\\
 \Leftrightarrow x\left( {3x - 4} \right)\left( {4{x^2} + 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{4}{3}
\end{array}\]

Vậy nghiệm của bất phương trình là: $\left[ \begin{array}{l}
x \ge \frac{4}{3}\\
x < \frac{1}{4}
\end{array} \right.$