Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l} \left( {x + y} \right)\left( {25 - 4xy} \right) = \frac{{105}}{4} + 4{x^2} + 17{y^2}\\ 4{x^2} + 4{y^2} + 4x - 4y = 7 \end{array} \right.\]

Đề bài: Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}
\left( {x + y} \right)\left( {25 - 4xy} \right) = \frac{{105}}{4} + 4{x^2} + 17{y^2}\\
4{x^2} + 4{y^2} + 4x - 4y = 7
\end{array} \right.\]
Lời giải 



Đặt: $x = \frac{{3a - 1}}{2},y = \frac{{3b + 1}}{2}$
Khi đó hệ đã cho trở thành: \[\left\{ \begin{array}{l}
\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 6{b^3} + 9{b^2} = 6{a^3} + 14a - 20}&{\left( 1 \right)}
\end{array}\\
{a^2} + {b^2} = 1
\end{array} \right.\]
Ta có: \[\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow 3{b^2}\left( {3 - 2b} \right) = \left( {a - 1} \right)\left( {6{a^2} + 6a + 20} \right)\\
 \Leftrightarrow 3\left( {1 - {a^2}} \right)\left( {3 - 2b} \right) = \left( {a - 1} \right)\left( {6{a^2} + 6a + 20} \right)\\
 \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {6{a^2} + 6a + 20 + 9 - 6b + 9a - 6ab} \right) = 0
\end{array}\]
Với $a = 1 \Rightarrow b = 0 \Rightarrow x = 1;y = \frac{1}{2}$
Với $\begin{array}{*{20}{c}}
{6{a^2} + 29 + 15a - 6b - 6ab = 0}&{\left( 2 \right)}
\end{array}$
Ta có: $VT\left( 2 \right) \ge 6{a^2} + 29 - 15 - 6 - 3 \ge 6{a^2} + 5 > 0$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  là: $x = 1;y = \frac{1}{2}$