Đề bài: Giải hệ phương trình sau: \[\begin{matrix} \left\{ \begin{align} & \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{1+2{{x}^{2}}}}+\frac{1}{\sqrt{1+2{{y}^{2}}}}=\frac{2}{\sqrt{1+2xy}} & \left( 1 \right) \\ \end{matrix} \\ & \begin{matrix} \sqrt{x\left( 1-2x \right)}+\sqrt{y\left( 1-2y \right)}=\frac{2}{9} & \left( 2 \right) \\ \end{matrix} \\ \end{align} \right. & \left( x,y\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{matrix}\]

Lời giải

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
0 \le x \le \frac{1}{2}\\
0 \le y \le \frac{1}{2}
\end{array} \right.$

Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxky ta có: \[\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\left( {\frac{1}{{\sqrt {1 + 2{x^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + 2{y^2}} }}} \right)}^2} \le 2\left( {\frac{1}{{1 + 2{x^2}}} + \frac{1}{{1 + 2{y^2}}}} \right)}&{\left( * \right)}
\end{array}\]

Dấu bằng xảy ra \[\Leftrightarrow \sqrt{1+2{{x}^{2}}}=\sqrt{1+2{{y}^{2}}}\Leftrightarrow x=y\]

Ta lại có:

\[\begin{array}{l}
\frac{1}{{1 + 2{x^2}}} + \frac{1}{{1 + 2{y^2}}} - \frac{2}{{1 + 2xy}} = \frac{{2{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {2xy - 1} \right)}}{{\left( {1 + 2{x^2}} \right)\left( {1 + 2{y^2}} \right)\left( {1 + 2xy} \right)}} \le 0\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{ \Rightarrow \frac{1}{{1 + 2{x^2}}} + \frac{1}{{1 + 2{y^2}}} \le \frac{2}{{1 + 2xy}}}&{\left( {**} \right)}
\end{array}
\end{array}\]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y$.

Từ $\left( * \right)$ và $\left( ** \right)$ ta suy ra \[{{\left( \frac{1}{\sqrt{1+2{{x}^{2}}}}+\frac{1}{\sqrt{1+2{{y}^{2}}}} \right)}^{2}}\le \frac{4}{1+2xy}\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{1+2{{x}^{2}}}}+\frac{1}{\sqrt{1+2{{y}^{2}}}}\le \frac{2}{\sqrt{1+2xy}}\]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y$. Khi đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow x=y$ thế xuống phương trình $\left( 2 \right)$ ta được:

\[\sqrt{x\left( 1-2x \right)}+\sqrt{x\left( 1-2x \right)}=\frac{2}{9}\Leftrightarrow x=\frac{9\pm \sqrt{73}}{36}\Rightarrow y=\frac{9\pm \sqrt{73}}{36}\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: \[\left( x;y \right)=\left( \frac{9\pm \sqrt{73}}{36};\frac{9\pm \sqrt{73}}{36} \right)\]

Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\sqrt {2x - 1} }}{x} + 6{y^2} + 8 = 3x + \frac{3}{x} + {y^4} + 8y}&{\left( 1 \right)} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {2{x^3} + 3y + 4 = 3{x^2} + 6\sqrt y }&{\left( 2 \right)} \end{array} \end{array} \right.$

Lời giải

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
x \ge \frac{1}{2}\\
y \ge 0
\end{array} \right.$
Ta có: $\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2{x^3} - 3{x^2} + 1 =  - 3{\left( {\sqrt y  - 1} \right)^2} \le 0$ với $x \ge \frac{1}{2}$.
Do đó: $2{x^3} - 3{x^2} + 1 \ge  - 3{\left( {\sqrt y  - 1} \right)^2}$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=1$.
Thay lại phương trình $(1)$ ta thấy thỏa mãn.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: $x=y=1$.

Đề bài: Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{matrix} {{e}^{{{y}^{2}}-{{x}^{2}}}}=\frac{{{x}^{2}}+1}{{{y}^{2}}+1} \\ 3{{\log }_{3}}\left( x+2y+6 \right)=2{{\log }_{2}}\left( x+y+2 \right)+1 \\ \end{matrix} \right.\] \[\begin{matrix} \left( 1 \right) \\ \left( 2 \right) \\ \end{matrix}\]

Lời giải

Điều kiện: \[x+2y+6>0\] và \[x+y+2>0\]

Xét phương trình \[\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{y}^{2}}-{{x}^{2}}=\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)-\ln \left( {{y}^{2}}+1 \right)\Leftrightarrow \ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)+{{x}^{2}}+1=\ln \left( {{y}^{2}}+1 \right)+{{y}^{2}}+1\]  \[\left( 3 \right)\]

Xét hàm số \[f\left( t \right)=\ln t+t\] với $t\ge 1$

Ta có $f\left( t \right)$  đồng biến trên $\left[ 1;+\infty  \right)$ 

Phương trình $\left( 3 \right)$  có dạng $f\left( {{x}^{2}}+1 \right)=f\left( {{y}^{2}}+1 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}={{y}^{2}}\Leftrightarrow x=\pm y$

·         Với $x=-y$  từ \[\left( 2 \right)\] ta được ${{\log }_{3}}\left( 6-x \right)=1$  với $x<6$ $\Rightarrow x=3\Rightarrow y=-3$ ( thỏa mãn hệ)

·         Với $x=y$  từ \[\left( 2 \right)\] ta được

$3{{\log }_{3}}\left( x+2 \right)=2{{\log }_{2}}\left( x+1 \right)$  với $x>-1$

Đặt \[3{\log _3}\left( {x + 2} \right) = 2{\log _2}\left( {x + 1} \right) = 6u \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + 2 = {3^{2u}}}\\
{x + 1 = {2^{3u}}}
\end{array}} \right.\]

$\Rightarrow 1+{{2}^{3u}}={{3}^{2u}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{1}{9} \right)}^{u}}+{{\left( \frac{8}{9} \right)}^{u}}=1$       $\left( 5 \right)$

Xét $g\left( u \right)={{\left( \frac{1}{9} \right)}^{u}}+{{\left( \frac{8}{9} \right)}^{u}}$ , $g\left( u \right)$  là hàm nghịch biến trên R và có $g\left( 1 \right)=1$  nên u=1 là nghiệm duy nhất của (5)

Với $u=1\Rightarrow x=y=7$  ( thỏa mãn hệ)

Vậy hệ có 2 nghiệm là $\left( x;y \right)=\left( 3;-3 \right),\left( 7;7 \right)$   

Đề bài: Giải phương trình \[{{x}^{3}}-3x+1=\sqrt{8-3{{x}^{2}}}\].

Lời giải

Nhận xét: Dùng máy tính sẽ tìm được giá trị gần bằng của 2 nghiệm phương trình là: \[{{x}_{1}}\approx -\text{0,6180339887}...\] và \[{{x}_{2}}\approx \text{1, 618033989}...\].Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 1\\
{x_1}.{x_2} =  - 1
\end{array} \right.$ hay $x1$ và $x2$ là hai nghiệm của phương trình : ${{x}^{2}}-x-1=0$. Từ đây ta sẽ nghĩ tới việc đưa phương trình về dạng: $\left( {{x}^{2}}-x-1 \right)P\left( x \right)=0$. Ta sẽ có phương pháp như sau:

Viết lại phương trình đã cho:
\[\begin{array}{l}
{x^3} - 3x + 1 - \left( {ax + b} \right) = \sqrt {8 - 3{x^2}}  - \left( {ax + b} \right)\\
 \Leftrightarrow {x^3} - 3x + 1 - \left( {ax + b} \right) + \frac{{{{\left( {ax + b} \right)}^2} + 3{x^2} - 8}}{{\sqrt {8 - 3{x^2}}  + \left( {ax + b} \right)}} = 0\\
 \Leftrightarrow {x^3} - \left( {a + 3} \right)x + 1 - b + \frac{{\left( {{a^2} + 3} \right){x^2} + 2abx + {b^2} - 8}}{{\sqrt {8 - 3{x^2}}  + \left( {ax + b} \right)}} = 0
\end{array}\]

Để xuất hiện nhân tử ${{x}^{2}}-x-1$ thì $\left( {{a}^{2}}+3 \right){{x}^{2}}+2abx+{{b}^{2}}-8=\alpha \left( {{x}^{2}}-x-1 \right)$. Ta sẽ thử chọn số $\alpha $ sao cho  $\alpha -3$ chính phương. Rất may mắn là với $\alpha =4$ thõa mãn. Hay khi

đó $\left\{ \begin{array}{l}
a =  - 1\\
b = 2
\end{array} \right.$ là cặp số cần tìm:

Ta có lời giải hoàn chỉnh sau đây:

Điều kiện: $-\frac{2\sqrt{6}}{3}\le x\le \frac{2\sqrt{6}}{3}$.

Biến đổi phương trình đã cho trở thành:
\[\begin{array}{l}
{x^3} - 2x - 1 = \sqrt {8 - 3{x^2}}  - \left( { - x + 2} \right)\\
 \Leftrightarrow {x^3} - 2x - 1 + 4.\frac{{{x^2} - x - 1}}{{\sqrt {8 - 3{x^2}}  + \left( { - x + 2} \right)}} = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - x - 1} \right)\left( {x + 1 + \frac{4}{{\sqrt {8 - 3{x^2}}  + \left( { - x + 2} \right)}}} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} - x - 1 = 0\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{x + 1 + \frac{4}{{\sqrt {8 - 3{x^2}}  + \left( { - x + 2} \right)}} = 0}&{\left( * \right)}
\end{array}
\end{array} \right.
\end{array}\]

Xét hàm số:  $f\left( x \right)=\sqrt{8-3{{x}^{2}}}+\left( -x+2 \right)$ ta có:  $f'\left( x \right)=\frac{-3x}{\sqrt{8-3{{x}^{2}}}}-1$

\[f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=-\sqrt{\frac{2}{3}}\]

Ta sẽ tìm được $0<f'\left( x \right)\le \frac{6+4\sqrt{6}}{3}$.

Do đó: \[\Rightarrow x+1+\frac{4}{\sqrt{8-3{{x}^{2}}}+\left( -x+2 \right)}=x+1+\frac{4}{f\left( x \right)}\ge -\frac{2\sqrt{6}}{3}+1+\frac{12}{6+4\sqrt{6}}>0\]

Vậy nên (*) vô nghiệm.

Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là: \[{{x}^{2}}-x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\].

Lưu ý: Khi giải các bài toán sử dụng liên hợp mà có nghiệm duy nhất thì thường phải chứng minh một phương trình nào đấy vô nghiệm, công việc này khá khó khăn, vì vậy chúng ta nên làm thuần thục các bài toán cơ bản vì đôi lúc là các kiến thức rất dễ nhưng do chúng ta chủ quan làm cho việc giải bài đó khó khăn hơn.

Đề thi thử lần 1 môn THPT chuyên Nguyễn Huệ Hà Nội 2015

Xem online tại đây. Kéo xuống dưới để tải về.



Tải về

Đề thi thử môn hóa trường THPT Thăng Long Hà Nội lần 1

Xem online tại đây.
Kéo xuống dưới để tải về.




Tải về 

Tài liệu về phương trình hệ phương trình

Đây là tài liệu của bạn Nguyễn Văn Quốc Tuấn [VNAVHMU] tổng hợp mong có thể giúp các bạn 1 phần nào đấy.
Chúc các bạn học tốt.
Xem online tại đây

Tải về tại đây

Ép biến với bất đẳng thức đối xứng

Bài toán : Cho $a,b,c$ là 3 số thực không âm sao cho không có hai số nào cùng bằng 0 đồng thời . Chứng minh rằng :

$\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}+3\sqrt{3}\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}\ge \dfrac{7\sqrt{2}}{2}$

Lời giải : Đôi lúc một bài toán được lắp ghép từ các bài toán nhỏ, vấn đề là chúng ta phải tìm được các ý nhỏ được che dấu đi và lắp ghép lại thành bài toán mới . 

Bổ đề 1 : Cho $a,b,c\ge 0$ Khi đó ta có :

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge \dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{ab+bc+ca}$

Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với :

$(ab+bc+ca)\left( \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b} \right)\ge {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$

Khai triển ra ta thấy ngay đây là bất đẳng thức đúng .

Bổ đề 2 : Với các số thực dương $a,b,c$ thì :

$\sqrt{\dfrac{ab}{(a+c)(b+c)}}+\sqrt{\dfrac{bc}{(b+a)(c+a)}}+\sqrt{\dfrac{ca}{(c+b)(a+b)}}\ge 1$

Gợi ý giải : Áp dụng AM-GM :

\[\sqrt {\frac{{ab}}{{(a + c)(b + c)}}}  = \sqrt {\frac{{ab{{(2ab + 2bc + 2ca)}^2}}}{{4(a + c)(b + c){{(ab + bc + ca)}^2}}}} \]
\[ = \sqrt {\frac{{ab{{(a(b + c) + b(a + c))}^2}}}{{4(a + c)(b + c){{(ab + bc + ca)}^2}}}} \]
\[ \ge \sqrt {\frac{{ab4a(b + c)b(a + c)}}{{4(a + c)(b + c){{(ab + bc + ca)}^2}}}}  = \frac{{ab}}{{ab + bc + ca}}\]

Tương tự thêm 2 bất đẳng thức nữa rồi cộng lại ta có điều phải chứng minh .

Quay lại bài toán :

Đặt $\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{ab+bc+ca}}=t\ge 1$ và sử dụng các đánh giá trên ta được :

\[{\left( {\sum {\sqrt {\frac{a}{{b + c}}} } } \right)^2} = \sum {\frac{a}{{b + c}}}  + 2\sum {\sqrt {\frac{{ab}}{{(a + c)(b + c)}}} } \]
\[ \ge \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{ab + bc + ca}} + 2 = {t^2} + 2\]

Vậy ta cần chứng minh được :

$\sqrt{{{t}^{2}}+2}+\dfrac{3\sqrt{3}}{t}\ge \dfrac{7\sqrt{2}}{2}$

Đây là hàm một biến , việc hoan tất lời giải xin danh cho bạn đọc . 

Trích: Nguyễn Đình Thành Công- Nghiên cứu sinh viện VIASM

Xem online, kéo xuống dưới để tải về.



Tải về tại đây
Chúc các bạn học tốt

Đề bài: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng: \[\frac{{{a}^{3}}}{1+9{{b}^{2}}ac}+\frac{{{b}^{3}}}{1+9{{c}^{2}}ab}+\frac{{{c}^{3}}}{1+9{{a}^{2}}bc}\ge \frac{{{\left( a+b+c \right)}^{3}}}{18}\]

Lời giải

Ta có:

\[\frac{{{a}^{3}}}{1+9{{b}^{2}}ac}+\frac{{{b}^{3}}}{1+9{{c}^{2}}ab}+\frac{{{c}^{3}}}{1+9{{a}^{2}}bc}=\frac{{{a}^{4}}}{a+9{{a}^{2}}{{b}^{2}}c}+\frac{{{b}^{4}}}{b+9a{{b}^{2}}{{c}^{2}}}+\frac{{{c}^{4}}}{c+9{{a}^{2}}b{{c}^{2}}}\]

\[\ge \frac{{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}^{2}}}{a+b+c+9{{a}^{2}}{{b}^{2}}c+9a{{b}^{2}}{{c}^{2}}+9{{a}^{2}}b{{c}^{2}}}=\frac{{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}^{2}}}{a+b+c+9abc\left( ab+bc+ca \right)}\]

Mặt khác:
 \[\left\{ \begin{array}{l}
9abc = 3\sqrt[3]{{abc}}.3\sqrt[3]{{{{\left( {abc} \right)}^2}}} \le \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) = a + b + c\\
{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^2} \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^4}}}{9}
\end{array} \right.\]

Khi đó:
  \[\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{{a^4}}}{{a + 9{a^2}{b^2}c}} + \frac{{{b^4}}}{{b + 9a{b^2}{c^2}}} + \frac{{{c^4}}}{{c + 9{a^2}b{c^2}}} \ge \frac{{\frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^4}}}{9}}}{{2\left( {a + b + c} \right)}} = \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^3}}}{{18}}}&{\left( {dpcm} \right)}
\end{array}\]