Đề bài: Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x,y,z\le 1$ và $x+y\ge 1+z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của : \[P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}-\frac{z}{\sqrt{xy+yz+zx+{{z}^{2}}}}\]

Lời giải

Ta có: $1+z\le x+y\le x+1\Leftrightarrow z\le x$. Tương tự thì $z\le y$ .

Vai trò của $x,y$ tương tự nhau nên giả sử $x\ge y\ge z$ .

Ta có:

\[\begin{array}{l}
\frac{z}{{\sqrt {xy + yz + zx + {z^2}} }}\\
 = \sqrt {\frac{{{z^2}}}{{\left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right)}}} \\
 = \sqrt {\frac{z}{{y + z}}} .\sqrt {\frac{z}{{x + z}}}  \le \frac{1}{2}\left( {\frac{z}{{x + z}} + \frac{z}{{y + z}}} \right)
\end{array}\]

Khi đó:

\[\begin{array}{l}
P \ge \frac{x}{{y + z}} + \frac{y}{{z + x}} - \frac{1}{2}\left( {\frac{z}{{x + z}} + \frac{z}{{y + z}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{{2x - z}}{{y + z}} + \frac{{2y - z}}{{z + x}}} \right)\\
 \ge \frac{1}{2}.\frac{{{{\left( {2x + 2y - 2z} \right)}^2}}}{{\left( {2x - z} \right)\left( {y + z} \right) + \left( {2y - z} \right)\left( {z + x} \right)}} = \frac{{2{{\left( {x + y - z} \right)}^2}}}{{4xy + z\left( {x + y} \right) - 2{z^2}}}\\
 \ge \frac{{2{{\left( {x + y - z} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2} + z\left( {x + y} \right) - 2{z^2}}} = \frac{{2{{\left( {x + y - z} \right)}^2}}}{{\left( {x + y - z} \right)\left( {x + y + 2z} \right)}} = \frac{{2\left( {x + y - z} \right)}}{{x + y + 2z}}\\
 \ge \frac{{2x}}{{x + x + 2x}} = \frac{1}{2}
\end{array}\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là $\frac{1}{2}$ khi $x=y=z=1$ .