Thủ thuật Casio phần $1$ của bạn Bùi Thế Việt.

Sau đây là một thủ thuật CASIO do  (Bùi Thế Việt) nghĩ ra, và có thể bạn cũng nghĩ ra được nó nếu bạn làm nhiều Phương Trình, Hệ Phương Trình, ...

Lưu ý: Thủ thuật này chỉ áp dụng cho biểu thức 2 ẩn bậc không quá cao (giới hạn bậc 4) cho một ẩn ...

Ví dụ như: $x^3y^3+10x^2-20xy^3+1$ vẫn nằm trong phạm vi của phương pháp này ... Do đó ứng dụng thực tiễn của phương pháp này là khá lớn, thuận tiện cho việc giải Phương trình và Hệ phương trình.

Ý tưởng: Nhận xét sơ bộ một biểu thức cần phân tích, xem bậc cái nào cao nhất, cho nó bằng $1000$ rồi phân tích

_______________________________________

Ví Dụ 1: $A=x^2+xy-2y^2+3x+36y-130$

Bước làm:

Bước 1: Nhìn thấy bậc của $x$ và $y$ đều bằng $2$ nên mình chọn cái nào cũng được

Bước 2: Cho $y=1000$, ta được $A=x^2+1003x-1964130$

Bước 3: Phân tích nhân tử nó: $A=(x+1990)(x-987)$

Bước 4: Áp dụng thủ thuật 1, ta được: $1990=2y-10$ và $-987=-y+13$

Bước 5: Thế vào ta được $A=(x+2y-10)(x-y+13)$

Dễ không nào ???

Ví Dụ 2: $B=6x^2y-13xy^2+2y^3-18x^2+10xy-3y^2+87x-14y+15$

Bước 1 Bậc của $x$ nhỏ hơn

Bước 2 Cho $y=1000$, ta được $B=5982\,{x}^{2}-12989913\,x+1996986015$

Bước 3 Phân tích nhân tử: $B=2991\, \left( 2\,x-333 \right) \left( x-2005 \right)$

Bước 4 Có $2991=3y-9, 333=\frac{999}{3}=\frac{y-1}{3},2005=2y+5$

Bước 5 Ta được: $B=(3y-9)(2x-\frac{y-1}{3})(x-2y-5)=(y-3)(x-2y-5)(6x-y+1)$

OK?

Ví Dụ 3:$C={x}^{3}-3\,x{y}^{2}-2\,{y}^{3}-7\,{x}^{2}+10\,xy+17\,{y}^{2}+8\,x-40\,y+16$

Bước 1 Bậc như nhau

Bước 2 Cho $y=1000$, ta được $C={x}^{3}-7\,{x}^{2}-2989992\,x-1983039984$

Bước 3 Phân tích: $C=(x-1999)(x+996)^2$

Bước 4 Thế $1999=2y-1$ và $996=y-4$

Bước 5 $C=(x-2y+1)(x+y-4)^2$

Ví Dụ 4:$D=2\,{x}^{2}{y}^{2}+{x}^{3}+2\,{y}^{3}+4\,{x}^{2}+xy+6\,{y}^{2}+3\,x+4\,y+12$

Bước 1 Bậc như nhau

Bước 2 Cho $y=1000$ ta được $D={x}^{3}+2000004\,{x}^{2}+1003\,x+2006004012$

Bước 3 Phân tích: $D=\left( x+2000004 \right) \left( {x}^{2}+1003 \right)$

Bước 4 Thế $2000004=2y^2+4$ và $1003=y+3$

Bước 5 $D=(x^2+y+3)(2y^2+x+4)$

Ví Dụ 5:$E={x}^{3}y+2\,{x}^{2}{y}^{2}+6\,{x}^{3}+11\,{x}^{2}y-x{y}^{2}-6\,{x}^{2}-7\,xy-{y}^{2}-6\,x-5\,y+6$

Bước 1 Bậc của $y$ nhỏ hơn

Bước 2 Cho $x=1000$ ta được $E=1998999\,{y}^{2}+1010992995\,y+5993994006$

Bước 3 Phân tích: $E=2997\, \left( 667\,y+333333 \right) \left( y+6 \right)$

Bước 4 "Ảo hóa" nhân tử: $E=999(2001y+999999)(y+6)$

Bước 5 Thế $999=x-1,2001=2x+1,999999=x^2-1$

Bước 6 $E=(x-1)((2x+1)y+x^2-1)(y+6)=(x-1)(y+6)(x^2+2xy+y-1)$

Ví Dụ 6:$F=6\,{x}^{4}y+12\,{x}^{3}{y}^{2}+5\,{x}^{3}y-5\,{x}^{2}{y}^{2}+6\,x{y}^{3}+{x}^{3}+7\,{x}^{2}y+4\,x{y}^{2}-3\,{y}^{3}-2\,{x}^{2}-8\,xy+3\,{y}^{2}-2\,x+3\,y-3$

Bước 1 Bậc $y$ nhỏ hơn

Bước 2 Cho $x=1000$ ta được: $$F=5997\,{y}^{3}+11995004003\,{y}^{2}+6005006992003\,y+997997997$$

Bước 3 Phân tích $F=\left( 1999\,y+1001001 \right) \left( 3\,{y}^{2}+5999000\,y+997\right) $

Bước 4 Thế $1999=2x-1;1001001=x^2+x+1;5999000=6x^2-x,997=x-3$

Bước 5 Ta được $$F=( (2x-1) y + x ^ 2 + x + 1) ( 3 y^2+( 6 x^2-x) y+x - 3 )\\=\left( {x}^{2}+2\,xy+x-y+1 \right) \left( 6\,{x}^{2}y-xy+3\,{y}^{2}+x-3 \right)$$