Giải hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left( {\sqrt {3x + 4} - \sqrt {5 - x} } \right){{.2}^y} = 2\left( {\frac{{19}}{x} - 3x + 8} \right)}\\ {y + {{\log }_2}x = 1} \end{array}} \right.$

Lời giải

Nhận xét: Nhận thấy rằng ở phương trình thứ hai có thể biến đổi riêng từng ẩn vào tường hệ phương trình nên ta sẽ biến đổi phương trình $2$ trước:
Điều kiện: $0 < x \le 5$



Ta có: ${\log _2}x = 1 - y \Leftrightarrow x = {2^{1 - y}} = \frac{2}{{{2^y}}} \Leftrightarrow {2^y} = \frac{2}{x}$
Khi đó thế lên phương trình $1$ ta được: \[\left( {\sqrt {3x + 4}  - \sqrt {5 - x} } \right).\frac{2}{x} = 2\left( {\frac{{19}}{x} - 3x + 8} \right) \Leftrightarrow \sqrt {3x + 4}  - \sqrt {5 - x}  =  - 3{x^2} + 8x + 19\]

Nhẩm được nghiệm là $x=4$, liên hợp thôi:
\[\begin{array}{l}
\sqrt {3x + 4}  - 4 + 1 - \sqrt {5 - x}  =  - 3{x^2} + 8x + 16\\
 \Leftrightarrow \frac{{3\left( {x - 4} \right)}}{{\sqrt {3x + 4}  + 4}} + \frac{{x - 4}}{{1 + \sqrt {5 - x} }} = \left( {x - 4} \right)\left( { - 3x - 4} \right)\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 4\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{3}{{\sqrt {3x + 4}  + 4}} + \frac{1}{{1 + \sqrt {5 - x} }} =  - 3x - 4}&{\left( * \right)}
\end{array}
\end{array} \right.
\end{array}\]

Ta có: $0 < x \le 5$ thì $-3x-4<0$ , khi đó phương trình $(*)$ vô nghiệm.

Với $x=4$ thì $y=-1$
Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình đã cho là: $(x;y)=(4;-1)$
Nguồn: Đề thi học sinh giỏi Quảng Trị