Phương pháp giải phương trình vô tỉ dạng $ax^2+bx+c = k\sqrt{dx^2+ex+f}$

Phương pháp giải phương trình vô tỉ dạng $ax^2+bx+c = k\sqrt{dx^2+ex+f}$

Đề: Giải phương trình: $$ax^2+bx+c = k\sqrt{dx^2+ex+f}$$

với $a,b,c,k,d,e,f$ là những hằng số đã biết

Ý tưởng : Đưa 2 vế của phương trình về dạng $A^2=B^2$

Phương pháp giải :

Cộng 2 vế của phương trình với đại lượng $m(dx^2+ex+f)+n$ với $m,n$ là những số chưa biết.

Phương trình đã cho tương đương

$$(a+md)x^2 + (b+me)x+ (c+mf+n) = m(dx^2+ex+f)+ k\sqrt{dx^2+ex+f}+ n$$

Ta xem vế bên trái là phương trình bậc 2 ẩn $x$, vế bên phải là phương trình bậc 2 ẩn là $ \sqrt{dx^2+ex+f} $, Để đưa phương trình về được dạng $A^2=B^2$ thì $denta$ 2 vế của phương trình bằng 0. tức là $(b+me)^2-4(a+md)(c+mf+n)= 0$

và $ k^2-4mn =0 $

Từ hệ phương trình trên ta giải tìm được $m,n$. Và bài toán được giải quyết !

Áp dụng: Giải phương trình sau:

$x^2+5x-9=\sqrt{2x+1}$