Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{align} & \left( 3-\frac{5}{y+42x} \right)\sqrt{2y}=4 \\ & \left( 3+\frac{5}{y+42x} \right)\sqrt{x}=2 \\ \end{align} \right.\]

Lời giải

Điều kiện: $x,y>0$ .

Ta có: \[HPT \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3 - \frac{5}{{y + 42x}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt y }}\\
3 + \frac{5}{{y + 42x}} = \frac{2}{{\sqrt x }}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \begin{array}{*{20}{c}}
{\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt y }} = 3\\
\frac{1}{{\sqrt x }} - \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt y }} = \frac{5}{{y + 42x}}
\end{array} \right.}&{\begin{array}{*{20}{c}}
{\left( 1 \right)}\\
{}\\
{\left( 2 \right)}
\end{array}}
\end{array}\]

Nhân theo vế (1) và (2) ta được:

                      

\[\begin{array}{l}
\left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt y }}} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt x }} - \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt y }}} \right) = \frac{{15}}{{y + 42x}} \Leftrightarrow \frac{1}{x} - \frac{2}{y} = \frac{{15}}{{y + 42x}}\\
 \Leftrightarrow \frac{{y - 2x}}{{xy}} = \frac{{15}}{{y + 42x}} \Leftrightarrow {y^2} + 40xy - 84{x^2} = 15xy\\
 \Leftrightarrow {y^2} + 25xy - 84{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 3x\\
y + 28x = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow y = 3x
\end{array}\] ( vì $x,y>0$ )

Với $y=3x$ thế vào (1) ta được :

\[\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3x}}=3\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x}}\left( \sqrt{\frac{2}{3}}+1 \right)=3\Leftrightarrow \sqrt{x}=\frac{3+\sqrt{6}}{9}\Leftrightarrow x=\frac{5+2\sqrt{6}}{27}\Rightarrow y=\frac{5+2\sqrt{6}}{9}\].

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \[\left( x;y \right)=\left( \frac{5+2\sqrt{6}}{27};\frac{5+2\sqrt{6}}{9} \right)\].