Phân tích &Bình luận:
Tiếp cận:
Nhận xét 1. Biểu thức cực trị đối xứng 3 biến ($x,y,z>0$ và $xyz=1$) nên dấu bằng đạt tại $x=y=z=1$ khi đó $P = 2\sqrt 3 - 6.$
Hiểu đề và tìm cách đánh giá tối ưu:
Nhận xét 2: Phân thức cuối khác biệt với 3 phân thức đầu nên ý tưởng của ta là đánh giá 3 phân thức đầu về (xy+yz+zx).
Nhận xét 3: Trong căn thức có luỹ thừa 4 và luỹ thừa bậc 1 nên cần đưa về đồng bậc 4 bằng cách sử dụng giả thiết xyz=1.
Đánh giá tối ưu:
Bây giờ đánh giá 3 phân thức đầu
Đại diện căn thức đầu tiên:
Ý tưởng là đưa mẫu số về bậc 4 vì vậy thêm xyz vào (y+z)=xyz(y+z).
Khi đó x^4+y+z=x(x^3+yz(y+z)). Lúc này mẫu thức có dạng tích một bậc 1 và 1 bậc 3. Ta lại đưa về cùng bậc tiếp nhưng ko thể thêm vào xyz bởi vì tổng (x^3+yz(y+z)) bậc 3 có giá trị bằng 3 khi đạt cực trị. Vì vậy ta cần thêm vào đại lượng khác có cùng giá trị và có dạng tổng tương tự. Ta cần đánh giá qua (xy+yz+zx) nên thêm đại lượng này là hợp lý.
Vậy ta thêm đại lượng xy+yz+zx vào để cùng có 2 bậc 3.
Vậy nhân cả tử và mẫu thức với căn(xy+yz+zx).
Kết hợp giả thiết và bất đẳng thức AM –GM ta có:
\[\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{{x^3} + 1}}{{\sqrt {{x^4} + y + z} }} = \frac{{({x^3} + 1)\sqrt {xy + yz + zx} }}{{\sqrt {({x^4} + xyz(y + z))(xy + yz + zx)} }}}\\
{ = \frac{{({x^3} + 1)\sqrt {xy + yz + zx} }}{{\sqrt {({x^3} + yz(y + z))({x^2}y + xyz + z{x^2})} }}}\\
{ \ge \frac{{2({x^3} + 1)\sqrt {xy + yz + zx} }}{{{x^3} + yz(y + z) + {x^2}y + xyz + z{x^2}}}}\\
{ = \frac{{2({x^3} + 1)\sqrt {xy + yz + zx} }}{{{x^2}(x + y + z) + yz(x + y + z)}}}\\
{ = \frac{{2({x^3} + 1)\sqrt {xy + yz + zx} }}{{(x + y + z)({x^2} + yz)}} = \frac{{2x\sqrt {xy + yz + zx} }}{{x + y + z}}}
\end{array}\]
{\frac{{{x^3} + 1}}{{\sqrt {{x^4} + y + z} }} = \frac{{({x^3} + 1)\sqrt {xy + yz + zx} }}{{\sqrt {({x^4} + xyz(y + z))(xy + yz + zx)} }}}\\
{ = \frac{{({x^3} + 1)\sqrt {xy + yz + zx} }}{{\sqrt {({x^3} + yz(y + z))({x^2}y + xyz + z{x^2})} }}}\\
{ \ge \frac{{2({x^3} + 1)\sqrt {xy + yz + zx} }}{{{x^3} + yz(y + z) + {x^2}y + xyz + z{x^2}}}}\\
{ = \frac{{2({x^3} + 1)\sqrt {xy + yz + zx} }}{{{x^2}(x + y + z) + yz(x + y + z)}}}\\
{ = \frac{{2({x^3} + 1)\sqrt {xy + yz + zx} }}{{(x + y + z)({x^2} + yz)}} = \frac{{2x\sqrt {xy + yz + zx} }}{{x + y + z}}}
\end{array}\]
Bây giờ chắc hẳn đã OK rồi.
Xây dựng tương tự rồi cộng lại theo vế ta được:
\[P \ge 2\sqrt {xy + yz + zx} - \dfrac{{8(xy + yz + zx)}}{{xy + yz + zx + 1}} \ge 2\sqrt 3 - 6\]
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét